Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.1 Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en unintervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
- Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
- A continuación se verifica que
- Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
- En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
- Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
- Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.
El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:
en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.
biseccion
para obtner una solucion a f(x)=0 dada la funcion f continua en el intervalo [a,b] donde f(a) y f (b) tiene signos opuestos
ALGORITMO DE BISECCION (Análisis Numérico –Richard L. Burden)
Para encontrar una solución de f(x)=0 dada la función continua f en el intervalo [a,b]donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos:
ENTRADA extremos a, b; tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N0.SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso
Paso 1 Tomar i = 1
Paso 2 Mientras que i <= No (seguir Pasos 3-6)
Paso 3 Tomar p = a + (b-a)/2
Paso 4 Si f(p) = 0 ó (b-a)/2 < TOL EntoncesSALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente)PARAR
Paso 5 Tomar i = i + 1.
Paso 6 Si f(a)*f(p)>0Entoncestomara=p(Calcular ai, bi).Si notomarb=p
Paso 7 SALIDA (‘El método fracasó después de N0iteraciones, N0= ’, N0);(Procedimiento completado sin éxito).PARAR.
Para encontrar una solución de f(x)=0 dada la función continua f en el intervalo [a,b]donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos:
ENTRADA extremos a, b; tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N0.SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso
Paso 1 Tomar i = 1
Paso 2 Mientras que i <= No (seguir Pasos 3-6)
Paso 3 Tomar p = a + (b-a)/2
Paso 4 Si f(p) = 0 ó (b-a)/2 < TOL EntoncesSALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente)PARAR
Paso 5 Tomar i = i + 1.
Paso 6 Si f(a)*f(p)>0Entoncestomara=p(Calcular ai, bi).Si notomarb=p
Paso 7 SALIDA (‘El método fracasó después de N0iteraciones, N0= ’, N0);(Procedimiento completado sin éxito).PARAR.
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